* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 
 
 *         B r e m s L i b :   a   l i b r a r y   o f   s h a p e   f u n c t i o n s   a n d   s i n g l y   d i f f e r e n t i a l   c r o s s 
 
 *         s e c t i o n s   o f   b r e m s s t r a h l u n g   a t   e l e c t r o n   e n e r g i e s   f r o m   1 0   e V   t o   3   M e V 
 
 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 
 
                                                           V e r s i o n   1 . 0 . 5 
 
 
 
                                                           A n d r i u s   P o ak u s 
 
                       I n s t i t u t e   o f   C h e m i c a l   P h y s i c s ,   V i l n i u s   U n i v e r s i t y , 
 
                       S a u l t e k i o   a l .   9 ,   b u i l d .   I I I ,   1 0 2 2 2   V i l n i u s ,   L i t h u a n i a 
 
                       E - m a i l :   a n d r i u s . p o s k u s @ f f . v u . l t     o r     a n d r i u s . p o s k u s @ l i v e . c o m 
 
 
 
                                                           M a r c h   4 ,   2 0 1 9 
 
 
 
           T h e   d a t a   l i b r a r y   B r e m s L i b   c o n t a i n s   t h e   v a l u e s   o f   t h e   s i n g l y 
 
 d i f f e r e n t i a l   c r o s s   s e c t i o n s   ( C S )   a n d   s h a p e   f u n c t i o n s   ( S F )   o f   a t o m i c - f i e l d 
 
 b r e m s s t r a h l u n g .   T h e   S F   i s   d e f i n e d   a s   t h e   r a t i o   o f   t h e   d o u b l y   d i f f e r e n t i a l 
 
 c r o s s   s e c t i o n   ( D C S )   a n d   t h e   a n g u l a r   i n t e g r a l   o f   t h e   s a m e   D C S ,   w h i c h   i s 
 
 e v a l u a t e d   b y   n u m e r i c a l   q u a d r a t u r e .   T h e   C S   a n d   S F   h a v e   b e e n   c a l c u l a t e d   f o r 
 
 1 0 0   v a l u e s   o f   t h e   a t o m i c   n u m b e r   Z   f r o m   1   t o   1 0 0 ,   5 6   v a l u e s   o f   t h e   i n c i d e n t 
 
 e l e c t r o n   e n e r g y   T 1   f r o m   1 0   e V   t o   3   M e V ,   a n d   1 2   v a l u e s   o f   t h e   r a t i o   k / T 1 
 
 f r o m   0   t o   0 . 9 9 9 9 8 3 ,   w h e r e   k   i s   t h e   e n e r g y   o f   t h e   b r e m s s t r a h l u n g   p h o t o n   ( a 
 
 t o t a l   o f   6 7 2 0 0   c o m b i n a t i o n s   o f   t h e   t h r e e   p h y s i c a l   p a r a m e t e r s   Z ,   T 1 ,   k / T 1 ) . 
 
 T h e   f i r s t   5 0   v a l u e s   o f   T 1   ( f r o m   1 0   e V   t o   8 0 0   k e V )   a r e   e q u a l   t o 
 
           T 1 =   ( 1 . 0 ,   1 . 2 ,   1 . 5 ,   2 . 0 ,   2 . 5 ,   3 . 0 ,   4 . 0 ,   5 . 0 ,   6 . 0 ,   8 . 0 )   *   1 0 ^ n   k e V , 
 
 w h e r e   n   =   - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 .   T h e   r e m a i n i n g   6   v a l u e s   o f   T 1   a r e   t h e   f i r s t   s i x 
 
 v a l u e s   c o r r e s p o n d i n g   t o   n   =   3   ( i . e . ,   1 . 0   M e V ,   1 . 2   M e V ,   1 . 5   M e V ,   2 . 0   M e V , 
 
 2 . 5   M e V ,   a n d   3 . 0   M e V ) .   T h e   f i r s t   1 0   v a l u e s   o f   k / T 1   a r e   0 ,   0 . 1 ,   . . . ,   0 . 9 , 
 
 t h e   n e x t   v a l u e   o f   k / T 1   i s   0 . 9 5 ,   a n d   t h e   l a s t   v a l u e   o f   k / T 1   i s   0 . 9 9   w h e n 
 
 T 1   < =   5   k e V ,   o r   1   -   ( 5 0   e V   /   T 1 )   w h e n   T 1   >   5   k e V . 
 
           T h e   s h a p e   f u n c t i o n s   c o r r e s p o n d i n g   t o   T 1   <   1   M e V   a r e   t a b u l a t e d   f o r   1 8 1 
 
 e q u i d i s t a n t   v a l u e s   o f   t h e   p h o t o n   e m i s s i o n   a n g l e   ( " t h e t a " )   f r o m   0   t o 
 
 1 8 0   d e g .   T h e   s h a p e   f u n c t i o n s   c o r r e s p o n d i n g   t o   T 1   > =   1   M e V   h a v e   b e e n 
 
 c a l c u l a t e d   f o r   2 2 1   v a l u e s   o f   t h e   a n g l e :   5 1   e q u i d i s t a n t   v a l u e s   f r o m   0   t o 
 
 1 0   d e g   ( i n   i n c r e m e n t s   o f   0 . 2   d e g )   a n d   1 7 0   e q u i d i s t a n t   v a l u e s   f r o m   1 1   d e g 
 
 t o   1 8 0   d e g   ( i n   i n c r e m e n t s   o f   1   d e g ) . 
 
 
 
 * * *   O P E R A T I O N   I N S T R U C T I O N S : 
 
 
 
           U n c o m p r e s s   t h e   d o w n l o a d e d   f i l e .   T h i s   w i l l   c r e a t e   f o l d e r   " B r e m s L i b " . 
 
           F o l d e r   " B r e m s L i b "   c o n t a i n s   t h e   A S C I I   f i l e s   w i t h   t h e   b r e m s s t r a h l u n g 
 
 c r o s s   s e c t i o n   l i b r a r y .   T h o s e   d a t a   w e r e   g e n e r a t e d   u s i n g   B R E M S   v 1 . 4 . 1 2 . 0 . 
 
           T h e   Z I P   a r c h i v e   w i t h   t h e   d i s t r i b u t i o n   p a c k a g e   o f   t h e   c u r r e n t   v e r s i o n 
 
 o f   B R E M S   m a y   b e   d o w n l o a d e d   f r o m   t h e   f o l l o w i n g   w e b s i t e s : 
 
 h t t p : / / w e b . v u . l t / f f / a . p o s k u s / b r e m s / 
 
 h t t p : / / w w w . a p s o f t w a r e . o r g / B R E M S / 
 
           T h e   c a l c u l a t i o n s   w e r e   p e r f o r m e d   u s i n g   t h e   B R E M S   c o n t r o l   o p t i o n 
 
 " a c c u r a c y _ l e v e l = 2 " .   A t   T 1   > =   1   M e V ,   t h e   d e n s i t y   o f   t h e   a n g u l a r   g r i d   i n   t h e 
 
 i n t e r v a l   0   <   t h e t a   <   1 0   d e g   w a s   i n c r e a s e d   b y   a   f a c t o r   o f   5   i n   c o m p a r i s o n 
 
 w i t h   t h e   d e f a u l t   s e t   o f   a n g l e s .   T h o s e   w e r e   t h e   o n l y   n o n - d e f a u l t   c o n t r o l 
 
 o p t i o n s   a f f e c t i n g   t h e   v a l u e s   o f   t h e   d i f f e r e n t i a l   c r o s s   s e c t i o n s ,   e x c e p t 
 
 f o r   5 4   c o m b i n a t i o n s   o f   t h e   p h y s i c a l   p a r a m e t e r s   Z ,   T 1   a n d   k / T 1   w h e n   t h e 
 
 v a l u e s   o f   t h e   B R E M S   c o n t r o l   p a r a m e t e r s   " K m a x 1 "   a n d   " K m a x 2 "   w e r e   i n c r e a s e d 
 
 i n   c o m p a r i s o n   w i t h   t h e   d e f a u l t   v a l u e s   ( s e e   b e l o w ) . 
 
 
 
 * * *   L I B R A R Y   D A T A   F O R M A T   A N D   C A L C U L A T I O N   O F   T H E   R E L A T I V E   U N C E R T A I N T I E S : 
 
 
 
           T h e   B r e m s L i b   l i b r a r y   d a t a   a r e   s t o r e d   i n   t h r e e   s e t s   o f   A S C I I   f i l e s : 
 
 
 
 I .       T h e   f i l e s   w i t h   t h e   f i n a l   ( e x t r a p o l a t e d )   v a l u e s   o f   t h e   s i n g l y 
 
           d i f f e r e n t i a l   c r o s s   s e c t i o n s   ( C S )   a n d   s h a p e   f u n c t i o n s   ( S F ) . 
 
 
 
 I I .     T h e   f i l e s   w i t h   t h e   v a l u e s   o f   t h e   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t i e s   o f   t h e   C S 
 
           a n d   S F .   T h o s e   f i l e s   a r e   l o c a t e d   i n   t h e   s u b f o l d e r   " r e l E r r "   o f   t h e   m a i n 
 
           B r e m s L i b   l i b r a r y   d a t a   f o l d e r . 
 
 
 
 I I I .   T h e   f i l e s   w i t h   t h e   v a l u e s   o f   t h e   o r i g i n a l   ( u n f i t t e d )   C S   a n d   S F . 
 
           T h o s e   f i l e s   a r e   l o c a t e d   i n   t h e   s u b f o l d e r   " u n f i t t e d "   o f   t h e   m a i n 
 
           B r e m s L i b   l i b r a r y   d a t a   f o l d e r . 
 
 
 
 E a c h   o f   t h o s e   t h r e e   s e t s   c o n s i s t s   o f   1 0 0   f i l e s :   o n e   f i l e   f o r   e a c h   v a l u e   o f 
 
 t h e   a t o m i c   n u m b e r   Z   f r o m   1   t o   1 0 0 .   T h e   f i l e   n a m e   s t a r t s   w i t h   t h e   s t r i n g 
 
 " S h a p e F n _ " ,   o r   " r e l E r r _ " ,   o r   " u n f i t t e d _ " ,   f o l l o w e d   b y   a   t h r e e - d i g i t 
 
 i n t e g e r   n u m b e r   i n d i c a t i n g   t h e   v a l u e   o f   Z ,   a n d   b y   t h e   f i l e   n a m e   e x t e n s i o n 
 
 " . t x t " .   I n   e a c h   f i l e ,   t h e r e   i s   o n e   t a b l e   f o r   e a c h   v a l u e   o f   t h e   i n i t i a l 
 
 e l e c t r o n   e n e r g y   T 1   ( t h e   v a l u e   o f   T 1   i s   i n d i c a t e d   b e f o r e   e a c h   t a b l e ) . 
 
           T h e   f i r s t   l i n e   i n   e a c h   t a b l e   c o n t a i n s   t h e   v a l u e s   o f   k / T 1   ( " k / T 1 " ) , 
 
 w h e r e   k   i s   t h e   e n e r g y   o f   t h e   b r e m s s t r a h l u n g   p h o t o n . 
 
           T h e   n e x t   t h r e e   l i n e s   c o n t a i n   t h e   m a x i m u m   v a l u e s   o f   t h e   q u a n t u m 
 
 n u m b e r s   | k a p p a [ 1 ] | ,   | k a p p a [ 2 ] |   a n d   l   i n   t h e   t r u n c a t e d   s e r i e s   d e f i n i n g   t h e 
 
 C S   a n d   t h e   d o u b l y   d i f f e r e n t i a l   c r o s s   s e c t i o n   ( D C S ) .   T h o s e   m a x i m u m   v a l u e s 
 
 a r e   d e n o t e d   " K 1 m a x " ,   " K 2 m a x " ,   a n d   " l m a x " ,   r e s p e c t i v e l y . 
 
           T h e   f i f t h   l i n e   o f   t h e   t a b l e   c o n t a i n s   t h e   n u m b e r   o f   v a l u e s   o f 
 
 m a x ( | k a p p a [ 1 ] | , | k a p p a [ 2 ] | )   u s e d   f o r   t h e   n o n l i n e a r   f i t t i n g   ( e x t r a p o l a t i o n ) 
 
 o f   t h e   s i n g l y   a n d   d o u b l y   d i f f e r e n t i a l   c r o s s   s e c t i o n s   ( " N f i t " ) . 
 
           T h e   s i x t h   l i n e   c o n t a i n s   t h e   f i n a l   ( e x t r a p o l a t e d )   v a l u e s   o f   t h e   s c a l e d 
 
 s i n g l y   d i f f e r e n t i a l   c r o s s   s e c t i o n   ( " C S " ,   i n   m b ) ,   o r   i t s   r e l a t i v e 
 
 u n c e r t a i n t i e s   ( " C S e r r " ) ,   o r   t h e   o r i g i n a l   ( u n f i t t e d )   s c a l e d   s i n g l y 
 
 d i f f e r e n t i a l   c r o s s   s e c t i o n   ( " C S _ 0 " ,   i n   m b ) .   T h e   s c a l i n g   f a c t o r   i s   e q u a l 
 
 t o   k   /   Z ^ 2 . 
 
           T h e   r e m a i n d e r   o f   t h e   t a b l e   c o n t a i n s   t h e   v a l u e s   o f   t h e   f i n a l 
 
 ( e x t r a p o l a t e d )   s h a p e   f u n c t i o n s   ( i n   u n i t s   o f   1 / s r ) ,   o r   t h e i r   r e l a t i v e 
 
 u n c e r t a i n t i e s ,   o r   t h e   o r i g i n a l   ( u n f i t t e d )   s h a p e   f u n c t i o n s   ( i n   u n i t s   o f 
 
 1 / s r ) ,   a l o n g   w i t h   t h e   c o r r e s p o n d i n g   v a l u e s   o f   t h e   p h o t o n   e m i s s i o n   a n g l e 
 
 " t h e t a "   ( i n   d e g r e e s ) . 
 
 
 
           T h e   v a l u e   o f   t h e   f i t t e d   o r   u n f i t t e d   d o u b l y   d i f f e r e n t i a l   c r o s s   s e c t i o n 
 
 ( D C S )   c a n   b e   o b t a i n e d   b y   m u l t i p l y i n g   t h e   c o r r e s p o n d i n g   S F   a n d   t h e   C S , 
 
 b e c a u s e   t h e   C S   i s   a p p r o x i m a t e l y   e q u a l   t o   t h e   a n g u l a r   i n t e g r a l   o f   t h e   D C S 
 
 ( t h i s   e q u a l i t y   i s   n o t   e x a c t   d u e   t o   t h e   n u m e r i c a l   e r r o r s ,   e s p e c i a l l y   i n   t h e 
 
 c a s e   o f   t h e   f i t t e d   ( D ) C S ) .   T h e   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t y   o f   t h e   D C S   i s   e q u a l   t o 
 
 t h e   s q u a r e   r o o t   o f   t h e   s u m   o f   t h e   s q u a r e d   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t i e s   o f   t h e   S F 
 
 a n d   o f   t h e   C S . 
 
 
 
           S o m e   o f   t h e   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t i e s   i n   t h e   f i l e s   " r e l E r r _ < Z > . t x t " 
 
 ( w h e r e   " < Z > "   d e n o t e s   a   t h r e e - d i g i t   i n t e g e r   i n d i c a t i n g   t h e   v a l u e   o f   t h e 
 
 a t o m i c   n u m b e r   Z )   a r e   n e g a t i v e .   A   n e g a t i v e   v a l u e   o f   t h e   r e l a t i v e 
 
 u n c e r t a i n t y   i n d i c a t e s   t h a t   t h e   n o n l i n e a r   f i t t i n g   w a s   n o t   p e r f o r m e d , 
 
 b e c a u s e   t h e   r e l a t i v e   r a n g e   o f   v a r i a t i o n   o f   t h e   ( D ) C S   i n s i d e   t h e   f i t t i n g 
 
 i n t e r v a l   w a s   l e s s   t h a n   0 . 0 0 1   ( i . e . ,   0 . 1 % ) .   I n   s u c h   a   c a s e ,   t h e   r e l a t i v e 
 
 u n c e r t a i n t y   i s   r e p l a c e d   b y   t h e   m e n t i o n e d   r e l a t i v e   r a n g e   o f   v a r i a t i o n   w i t h 
 
 t h e   m i n u s   s i g n . 
 
 
 
           T h e   p o s i t i v e   v a l u e s   o f   t h e   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t y   ( " E r r " )   a r e   e q u a l   t o 
 
           | E r r |   =   m a x ( | E r r 0 | ,   E r r 1 ,   E r r 2 ,   | D i f f _ 0 1 | ,   C * | D i f f 0 2 | ,   | D i f f 1 2 | ) , 
 
 w h e r e   " E r r 0 " ,   " E r r 1 " ,   " E r r 2 "   a r e   t h e   e s t i m a t e s   o f   t h e   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t y 
 
 o f   t h e   C S   o r   S F   c a l c u l a t e d   i n   t h r e e   r u n s   o f   B R E M S : 
 
           E r r 0   i s   t h e   d e f a u l t   e s t i m a t e   o f   t h e   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t y , 
 
           E r r 1   i s   o b t a i n e d   a f t e r   p r o c e s s i n g   t h e   " . . . _ t e s t . t x t "   f i l e s , 
 
           E r r 2   i s   o b t a i n e d   a f t e r   p r o c e s s i n g   t h e   " . . . _ t e s t 2 . t x t "   f i l e s , 
 
 " D i f f _ 0 1 " ,   " D i f f _ 0 2 " ,   " D i f f _ 1 2 "   a r e   r e l a t i v e   d i f f e r e n c e s   b e t w e e n   t h r e e 
 
 e s t i m a t e s   o f   t h e   C S   o r   S F   -   t h e   d e f a u l t   o n e   ( " v a l u e   N o .   0 " ) ,   t h e   o n e 
 
 o b t a i n e d   a f t e r   p r o c e s s i n g   t h e   " . . . _ t e s t . t x t "   f i l e s   ( " v a l u e   N o .   1 " ) ,   a n d 
 
 t h e   o n e   o b t a i n e d   a f t e r   p r o c e s s i n g   t h e   " . . . _ t e s t 2 . t x t "   f i l e s   ( " v a l u e   N o . 
 
 2 " ) : 
 
           D i f f _ 0 1   -   r e l a t i v e   d i f f e r e n c e   b e t w e e n   t h e   v a l u e s   N o .   0   a n d   N o .   1 , 
 
           D i f f _ 0 2   -   r e l a t i v e   d i f f e r e n c e   b e t w e e n   t h e   v a l u e s   N o .   0   a n d   N o .   2 , 
 
           D i f f _ 1 2   -   r e l a t i v e   d i f f e r e n c e   b e t w e e n   t h e   v a l u e s   N o .   1   a n d   N o .   2 , 
 
 a n d   C   i s   t h e   a d j u s t m e n t   f a c t o r ,   w h i c h   i s   e q u a l   t o 
 
           C   =   ( m a x | k a p p a 1 |   +   m a x | k a p p a 2 |   -   l m a x )   /   ( 2 * D e l t a [ l m a x ] ) , 
 
 w h e r e   l m a x   i s   t h e   m a x i m u m   v a l u e   o f   t h e   q u a n t u m   n u m b e r   " l "   u s e d   i n   t h e   s u m , 
 
 a n d   D e l t a [ l m a x ]   i s   t h e   d e c r e m e n t   o f   l m a x   u s e d   f o r   t e s t i n g   t h e   s e n s i t i v i t y 
 
 o f   t h e   ( D ) C S   t o   t h e   t r u n c a t i o n   o f   t h e   s u m   w i t h   r e s p e c t   t o   l . 
 
 
 
           I f   t h e   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t y   o f   t h e   f i t t e d   C S   o r   S F   t a b u l a t e d   i n   t h e 
 
 l i b r a r y   i s   g r e a t e r   t h a n   0 . 0 5   ( i . e . ,   5   % ) ,   t h e n   i t   i s   r e l i a b l e   e n o u g h . 
 
 H o w e v e r ,   i f   i t   i s   l e s s   t h a n   0 . 0 0 5   ( a n d   p o s i t i v e ) ,   t h e n   i t   i s   f r e q u e n t l y 
 
 t o o   s m a l l   b y   a n   o r d e r   o f   m a g n i t u d e   ( t h i s   h a s   b e e n   d e t e r m i n e d   e m p i r i c a l l y ) . 
 
 C o n s e q u e n t l y ,   i t   i s   r e c o m m e n d e d   t o   m o d i f y   t h e   e s t i m a t e   o f   t h e   r e l a t i v e 
 
 u n c e r t a i n t y   a d d i t i o n a l l y   w h e n   0   <   E r r   <   0 . 0 5 :   i f   0   <   E r r   <   0 . 0 0 5 ,   t h e n   i t 
 
 s h o u l d   b e   i n c r e a s e d   b y   a   f a c t o r   o f   1 0 ,   a n d   i f   0 . 0 0 5   <   E r r   <   0 . 0 5 ,   t h e n   i t 
 
 s h o u l d   b e   s e t   e q u a l   t o   0 . 0 5 .   M a t h e m a t i c a l l y ,   t h i s   r e p l a c e m e n t   o f   E r r   i s 
 
 d e f i n e d   a s   f o l l o w s : 
 
           E r r '   =   m a x ( E r r , m i n ( 0 . 0 5 ,   1 0 * E r r ) )             ( E r r   >   0 ) . 
 
 
 
           F o r   2 8   ( o u t   o f   6 7 2 0 0 )   c o m b i n a t i o n s   o f   t h e   t h r e e   p h y s i c a l   p a r a m e t e r s 
 
 Z ,   T 1   a n d   k / T 1 ,   t h e   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t y   o f   C S ,   m a x [ S F ] ,   o r 
 
 m a x [ s i n ( t h e t a ) * S F ] ,   w h i c h   i s   o b t a i n e d   w i t h   t h e   d e f a u l t   v a l u e s   o f 
 
 m a x | k a p p a 1 |   a n d   m a x | k a p p a 2 |   c o r r e s p o n d i n g   t o   t h e   o p t i o n 
 
 " a c c u r a c y _ l e v e l = 2 " ,   i s   g r e a t e r   t h a n   5   %   ( w i t h   t h e   a b s o l u t e   m a x i m u m   o f 
 
 t h o s e   t h r e e   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t i e s   e q u a l   t o   1 0   % ) .   I n   t h o s e   2 8   c a s e s ,   a s 
 
 w e l l   a s   i n   t h e   o t h e r   2 2   c a s e s   w h e n   s i m i l a r l y   l a r g e   r e l a t i v e   d e v i a t i o n s   h a d 
 
 b e e n   o b t a i n e d   w i t h   t h e   p r e v i o u s   v e r s i o n   o f   B r e m s L i b   ( v 1 . 0 . 4 ) ,   t h e 
 
 c a l c u l a t i o n s   w e r e   r e d o n e   w i t h   m a x | k a p p a 1 |   a n d   m a x | k a p p a 2 |   ( B R E M S   c o n t r o l 
 
 p a r a m e t e r s   " K m a x 1 "   a n d   " K m a x 2 " ,   r e s p e c t i v e l y )   g r e a t e r   b y   4 0   t h a n   t h e 
 
 d e f a u l t   v a l u e s .   I n   a d d i t i o n ,   m a x | k a p p a 1 |   a n d   m a x | k a p p a 2 |   w e r e   i n c r e a s e d 
 
 i n   f o u r   c a s e s   c o r r e s p o n d i n g   t o   Z   < =   2 ,   T 1   =   3 M e V ,   k   < =   0 . 3   M e V ,   f o r   t h e 
 
 p u r p o s e   o f   t e s t i n g   t h e   a c c u r a c y   o f   t h e   e x t r a p o l a t i o n   p r o c e d u r e   i m p l e m e n t e d 
 
 i n   B R E M S   ( t h e   v a l u e s   o f   m a x | k a p p a 1 , 2 |   a t   k   =   0   a n d   k   =   0 . 3   M e V   w e r e 
 
 i n c r e a s e d   t o   5 0 0   a n d   3 0 0 ,   r e s p e c t i v e l y ) .   A l l   t h e s e   5 4   c o m b i n a t i o n s   o f   Z , 
 
 T 1   a n d   k   a r e   l i s t e d   i n   t h e   t a b l e   b e l o w . 
 
 
 
   Z           T 1 ( M e V )   k ( M e V ) 
 
 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
   1           1 . 5           0 
 
   1           2               0 
 
   1           2               0 . 4 
 
   1           2 . 5           0 
 
   1           2 . 5           0 . 2 5 
 
   1           2 . 5           0 . 5 
 
   1           2 . 5           0 . 7 5 
 
   1           3               0 
 
   1           3               0 . 3 
 
   1           3               0 . 6 
 
   1           3               0 . 9 
 
   2           3               0 
 
   2           3               0 . 3 
 
   3           0 . 0 0 3       0 
 
   3           0 . 0 0 4       0 
 
   3           2               0 . 2 
 
   3           2 . 5           0 . 5 
 
   4           2               0 . 2 
 
   8           3               0 . 3 
 
   9           2 . 5           0 . 2 5 
 
   9           3               0 . 3 
 
   9           3               0 . 6 
 
 1 0           2 . 5           0 . 2 5 
 
 1 0           3               0 . 3 
 
 1 1           2               0 . 2 
 
 1 1           3               0 . 3 
 
 1 2           3               0 . 3 
 
 1 3           3               0 . 3 
 
 1 8           2 . 5           0 . 2 5 
 
 1 8           3               0 . 3 
 
 1 9           2 . 5           0 . 2 5 
 
 1 9           3               0 . 3 
 
 2 0           3               0 . 3 
 
 2 1           3               0 . 3 
 
 2 1           3               0 . 6 
 
 2 2           3               0 . 3 
 
 2 3           3               0 . 3 
 
 2 4           2 . 5           0 
 
 2 4           3               0 . 3 
 
 2 5           3               0 . 3 
 
 2 6           3               0 . 3 
 
 2 7           3               0 . 3 
 
 2 8           3               0 . 3 
 
 2 9           3               0 . 3 
 
 3 0           3               0 . 3 
 
 3 1           3               0 . 3 
 
 3 2           3               0 . 3 
 
 3 3           3               0 . 3 
 
 3 4           3               0 . 3 
 
 3 5           3               0 . 3 
 
 3 6           3               0 . 3 
 
 3 3           3               0 . 6 
 
 3 4           3               0 . 6 
 
 3 6           3               0 . 6 
 
 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
 
 
 A f t e r   r e d o i n g   t h e   c a l c u l a t i o n s   f o r   t h e   5 4   c o m b i n a t i o n s   o f   t h e   p h y s i c a l 
 
 p a r a m e t e r s   l i s t e d   a b o v e ,   t h e   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t y   o f   C S   a n d 
 
 m a x [ s i n ( t h e t a ) * S F ]   i s   a l w a y s   l e s s   t h a n   5   % ,   w h e r e a s   t h e   r e l a t i v e 
 
 u n c e r t a i n t y   o f   m a x [ S F ]   i s   g r e a t e r   t h a n   5   %   i n   o n l y   t w o   c a s e s   ( w h e n   Z   =   1 , 
 
 T 1   =   2 . 5   M e V ,   k   =   0 . 7 5   M e V ,   a n d   w h e n   Z   =   1 9 ,   T 1   =   3   M e V ,   k   =   0 . 3   M e V ,   t h e 
 
 r e l a t i v e   u n c e r t a i n t y   o f   t h e   S F   a t   t h e t a = 0   i s   e q u a l   t o   5 . 3   %   a n d   6 . 9   % , 
 
 r e s p e c t i v e l y ) .   I n   a d d i t i o n ,   t h e   r e l a t i v e   u n c e r t a i n t y   o f   t h e   S F   i s 
 
 s o m e t i m e s   g r e a t e r   t h a n   5   %   f o r   t h e   v a l u e s   o f   t h e   a n g l e   " t h e t a "   t h a t   d o   n o t 
 
 c o r r e s p o n d   t o   t h e   m a x i m u m   S F   o r   m a x i m u m   s i n ( t h e t a ) * S F . 
 
 